OMC240(F)

点数: 600

Writer: sakurano

　平面上に $2$ つの合同な正三角形があり，この $2$ つの正三角形の共通部分が（すべての辺の長さが正である）六角形をなしています．この六角形の辺の長さとして現れる値はちょうど $5$ つであり，これらを小さい順に $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ とおくと， $$\dfrac{x_1}{x_3}+\dfrac{x_4}{x_3}=2,\quad \dfrac{x_2}{x_3}=\dfrac{3}{7}$$ が成り立ちます．このとき，$\dfrac{x_5}{x_3}$ としてあり得る値がちょうど $2$ つ存在するので，その総和を求めてください．ただし，求める値は正整数 $a, b, c$（$b, c$ は互いに素）を用いて $a+\sqrt\dfrac{b}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．