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OMC238

OMC238(E) - 解と係数の関係

ユーザー解説 by jjmmxx

　α=ba,　β=cb,　γ=ac\alpha=\frac{b}{a},　\beta=\frac{c}{b},　\gamma=\frac{a}{c} とおくと，αβγ=1\alpha \beta \gamma=1 であり，条件より α+β+γ=3,　(α−1)(β−1)(γ−1)=2\alpha+\beta+\gamma=3,　(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=2 なので αβ+βγ+γα=1\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha=1 に注意すれば，α,β,γ\alpha,\beta,\gamma は 33 次方程式 x3−3x+x−1=0x^3-3x+x-1=0 の 33 解である．

　ここで， a3+abc=abc(a2bc+1)=3(γα+1)a^3+abc = abc \Big( \dfrac{a^2}{bc} +1 \Big) = 3 \Big( \dfrac{\gamma}{\alpha} +1 \Big) で，b3+abc,c3+abcb^3+abc,c^3+abc についても同様なので，求める値は 27(αβ+1)(βγ+1)(γα+1)=27×(α+β)(β+γ)(γ+α)αβγ27 \Big( \dfrac{\alpha}{\beta} +1 \Big) \Big( \dfrac{\beta}{\gamma} +1 \Big) \Big( \dfrac{\gamma}{\alpha} +1 \Big) = 27× \dfrac{(\alpha+ \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)}{\alpha \beta \gamma} に等しい．右辺の分子については (α+β)(β+γ)(γ+α)=(3−α)(3−β)(3−γ)(\alpha+ \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) であり，これは 33−3×32+3−1=23^3-3×3^2+3-1=2 である．よって，求める答は 27×21=54.27×\dfrac{2}{1} = \mathbf{54}.