OMC238(E) - 別解

　$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}=1$ より $a^2b+b^2c+c^2a=abc=3$ を得る．
　また $(a-b)(b-c)(c-a)=6$ より $ab^2+bc^2+ca^2=9$ を得る．
　これらの結論を掛け合わせて計算してみると $$\begin{aligned} (a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)&=27\\ a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc(a^3+b^3+c^3)+3a^2b^2c^2&=27 \\ a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+3(a^3+b^3+c^3)&=0 \end{aligned}$$ 従って， $$\begin{aligned} (a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)&=a^3b^3c^3+3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+9(a^3+b^3+c^3)+27\\ &=a^3b^3c^3+27\\ &=\mathbf{54} \end{aligned}$$