OMC234(E)

点数: 500

Writer: sdzzz

　実数列 $\lbrace a_n\rbrace,\lbrace b_n\rbrace$ が $a_1=\tan\dfrac{2\pi}{111}, b_1=\tan\dfrac{\pi}{111}$ をみたし，さらに任意の正の整数 $n$ に対して以下をみたしています． $$a_n=b_n+b_{n+1}+a_nb_nb_{n+1},\quad a_{n+1}=a_n+b_n+a_nb_na_{n+1}$$ このとき，以下の極限値が定まります． $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{b_k^3}{(\sqrt2)^k(b_k^2-1)}$$ この極限値を $L$ とするとき，$\lfloor1000L\rfloor$ を解答してください．