OMC231(A) - 想像力に限界を感じたら

　もしスムーズに本問の立体が思い浮かべられた人がいたらすごいです．中々そうはいかない人も多いと思うので，立体想像が苦手な人向けの方針を紹介します．

$(0)$ $|x| + |y| + |z| = 1$ とは

　まずは $x,y,z \geq 0$ の部分だけ考えてみます．このときの $x+y+z = 1$ の図形なので，平面の $x,y,z \geq 0$ の部分だけを切り取ったような形，つまり三角形になります．この平面は $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ を通るので，この $3$ 点を頂点とする一辺 $\sqrt{2}$ の正三角形になります．
　これが残りの $7$ つ $($例えば $x,z \geq 0, ~ y \leq 0$ の場合など$)$ についても同じことがいえるので，立体 $|x| + |y| + |z| = 1$ は，正三角形を $8$ つ貼り付けた正八面体になると分かります．

　以下では上の正八面体を $S$ と呼びます．

$\mathbf{(1)}$ 断面以外の処理

　平面 $x+y+z = 0$ が $S$ の表面を $2$ 等分するのはなんとなく分かると思います．厳密に言うなら $S$ の表面上の任意の点と，その原点に対しての対称点 $\big( (x,y,z)$ と $(-x,-y,-z) \big)$ が $x+y+z = 0$ をまたぐことから分かります．
　今 $S$ の表面積は $4\sqrt{3}$ なので，本問の立体の断面以外の表面積は $2\sqrt{3}$ です．

$\mathbf{(2)}$ 断面の処理 (本題)

　$x+y+z=0$ が $S$ のどこらへんで交わりそうか特徴付けをしてみます．どう見つけても良いんですが，$x+y+z$ の値に注目してみましょう．$S$ の頂点は $$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ~ と ~ (-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)$$ です．前 $3$ 点と後 $3$ 点で $9$ つのペアが作れますが，このペアの中点はどれも $x+y+z=0$ 上に乗ることが分かります．
$(x+y+z=1$ 上の点と $x+y+z=-1$ 上の点の中点をとって $x+y+z=0$ になる点を作り出そうとしている$)$

　$3$ 点は原点になるので，残りの $6$ 点を手元に書き込むと，良い感じに正六角形をなしていそうです．(これが正六角形なのかが怪しいですが，対称性を信じると，) 断面は一辺が $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の正六角形なので，面積は $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ と分かります．

　以上より，答えは $\displaystyle 2\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{11\sqrt{3}}{4}$ で，求める値は $\mathbf{379}$ です．