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OMC229

OMC229(B)

　1111で割り切れる良い数を数え上げよう．良い数 XX の右から kk 桁目を aka_k とすると， X=∑k=1810k−1ak≡∑k=18(−1)k−1ak(mod11)=∑k=18ak−2(a2+a4+a6+a8)=36−2(a2+a4+a6+a8)\begin{aligned} X&=\sum_{k=1}^{8}10^{k-1}a_k\\ &\equiv \sum_{k=1}^{8}(-1)^{k-1}a_k\pmod{11}\\ &=\sum_{k=1}^{8}a_k-2(a_2+a_4+a_6+a_8)\\ &=36-2(a_2+a_4+a_6+a_8) \end{aligned} が成り立つ．これと 10≤a2+a4+a6+a8≤2610\leq a_2+a_4+a_6+a_8\leq 26 より，XX が 1111 で割り切れることは次と同値である． a2+a4+a6+a8=18a_2+a_4+a_6+a_8=18 これを満たす (a2,a4,a6,a8)(a_2,a_4,a_6,a_8) の組の数は次のいずれかの並べ替え，すなわち 8⋅4!8\cdot 4! 個ある． (1,2,7,8),(1,3,6,8),(1,4,6,7),(1,4,5,8),(2,3,5,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7),(3,4,5,6)(1,2,7,8),(1,3,6,8),(1,4,6,7),(1,4,5,8),(2,3,5,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7),(3,4,5,6) それぞれに対して (a1,a3,a5,a7)(a_1,a_3,a_5,a_7) の組は 4!4! 個あるので，1111 で割り切れる良い数の個数は次の通り． 8⋅4!⋅4!8\cdot 4!\cdot 4! 　さて，1111 で割り切れない良い数 YY に対して，99999999−Y99999999-Y も 1111 で割り切れない良い数であり，YY とは異なる．よって 1111 で割り切れない良い数の集合は 22 数のペア {Y,99999999−Y}\{Y,99999999-Y\} 複数個に分けることができ，ペアの個数は先の議論より 8!−8⋅4!⋅4!2=17856\frac{8!-8\cdot 4!\cdot 4!}{2}=17856 である．各ペアについて，1111 で割った余りの和は 1111 の倍数であり，ペアの要素がどちらも 1111 で割り切れないことから，特に 1111 である．したがって，1111 で割り切れない良い数すべてについて 1111 で割った余りの総和は次のように求められる． 17856⋅11=19641617856\cdot 11=196416 これは良い数全てに対して 1111 で割った余りの総和となっているので解答すべき値は 196416\mathbf{196416} である．

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