OMC228(D)

点数: 400

Writer: Shota_1110

　平行四辺形 $APBQ$ が与えられており，直線 $PQ$ 上に $P, Q, X$ がこの順に並ぶように点 $X$ をとったところ，以下をみたしました： $$AX = \sqrt{1110} ,\quad BX = 11\sqrt{10} , \quad PX = AB + 23$$ ここで三角形 $BPQ$ の外接円が線分 $AB$（両端を除く）と交わったので，その交点を $Y$ とします．すると $2$ 直線 $XY, AB$ が直交しました．このとき，線分 $AB$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p + q$ の値を解答して下さい．