OMC227(E) - 特性方程式を考察する解法

　漸化式 $a_{n+10}=a_{n+3}+a_n$ の特性方程式は, $$x^{10}=x^3+1$$ であり, 解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{10}$ (これらは相異なる)とするとき, $a_n$ は $\alpha_1^n,\alpha_2^n,\dots,\alpha_{10}^n$ の線形和(定数倍同士の和)で表すことができ, $b_n:=a_{10n}$ は $(\alpha_1^{10})^{n},(\alpha_2^{10})^{n},\dots,(\alpha_{10}^{10})^n$ の線形和で表すことができる. よって, $\{b_n\}$ の漸化式について, 特性方程式は $$f(x)=(x-\alpha_1^{10})(x-\alpha_2^{10})\cdots(x-\alpha_{10}^{10})=0$$ となる. $f(x)$ を求めよう. $x^{10}-1=x^3$ について, 両辺 $10$ 乗することで, $y=x^{10}$ についての $10$ 次方程式, $$(y-1)^{10}=y^3$$ が導かれる. したがって, $f(x)=(x-1)^{10}-x^3$ であり, これから $\{b_n\}$ の漸化式を導出することができ, $b_9(=a_{90})$ を $b_n(=a_{10n})\:(1\leq n \leq 10,\:\ n\neq 9)$ を用いて表すことができる.