OMC227(E)

$a_{90} = \dfrac{1}{10}+x$ とおいて，まず，$x = 0$ として計算を行う． 漸化式を繰り返し用いることで， $$\begin{aligned}\\ a_{10n+3} &= a_{10n+10} - a_{10n} = \frac{-1}{(n+2)(n+1)} \space (0 \leq n \leq 9)\\ a_{10n+6} &= a_{10n+13} - a_{10n+3} = \frac{2}{(n+3)(n+2)(n+1)} \space (0 \leq n \leq 8)\\ a_{10n+9} &= \frac{-3!}{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)} \space (0 \leq n \leq 7)\\ &\vdots\\ a_{10n+30} &= \frac{10!}{(n+11)(n+10) \cdots (n+1)} \space (n = 0) \end{aligned}$$ となるから，$a_{30} = \dfrac{10!}{11!} = \dfrac{1}{11}$．次に，$a_{90}$ が $x$ 増加したときの $a_{30}$ の変化を調べる． まず，$a_{83}$ が $x$ 増加して $a_{93}$ が $x$ 減少する．さらに，$a_{76}$ が $x$ 増加して $a_{86}$ が $2x$ 減少する．さらに，$a_{69}$ が $x$ 増加して $a_{79}$ が $3x$ 減少する．同様に続ければ，$a_{30}$ は $10x$ 減少することが分かる．したがって，$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{11} - 10x$ より，$a_{90} = \dfrac{1}{10}+x = \dfrac{1}{10} - \dfrac{7}{440} = \dfrac{37}{440}$ となる．