OMC227(E)

　実数列 $\{a_n\}$ は添字が負の範囲にも拡張できることに注意する．

補題． 任意の整数 $n$ と任意の正の整数 $k$ について以下が成り立つ． $$a_{10n-7k} = \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}_k\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i)}$$

証明． $k$ についての帰納法で示す．$k=1$ のときは $\{ a_n \}$ の漸化式そのものである．また，任意の正整数 $n$ について $$a_{10n-7k} = \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}_k\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i)}$$ を仮定すると， $$\begin{aligned} a_{10n-7(k+1)} &= a_{10n-7k} - a_{10(n-1)-7k} \\ &= \left( \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}_k\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i)} \right) - \left( \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}_k\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i-1)} \right) \\ &= \sum_{i = 0}^{k+1} (-1)^i \left( {}_k\mathrm{C}_i + {}_k\mathrm{C}_{i-1} \right) a_{10(n-i)} \\ &= \sum_{i = 0}^{k+1} (-1)^i {}_{k+1}\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i)} \end{aligned}$$ より示された．

　いま，任意の整数 $n$ について $$a_{10n} - a_{10(n-7)} = \sum_{j=0}^{9} ( a_{10n-7j} - a_{10n-7(j+1)} ) = \sum_{j=0}^{9} a_{10(n-1)-7j}$$ であるので，補題を用いて $$\begin{aligned} a_{10n} - a_{10(n-7)} &= \sum_{j=0}^{9} a_{10(n-1)-7j} \\ &= \sum_{j=0}^{9} \sum_{i = 0}^j (-1)^i {}_j\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i-1)} \\ &= \sum_{i=0}^9 \sum_{j=i}^9 (-1)^i {}_j\mathrm{C}_i ~ a_{10(n-i-1)} \\ &= \sum_{i=1}^{10} (-1)^{i-1} {}_{10}\mathrm{C}_{i} ~ a_{10(n-i)} \end{aligned}$$ を得る．ここで $n = 10$ とすれば， $$\begin{aligned} a_{100} - a_{30} &= \sum_{i=1}^{10} (-1)^{i-1} {}_{10}\mathrm{C}_{i} ~ a_{10(10-i)} \\ &= {}_{10}\mathrm{C}_{1} ~ a_{90} + \frac{1}{11}\sum_{i = 0}^{8}(-1)^{i - 1}{}_{11}\mathrm{C}_{i + 1}\\ &= {}_{10}\mathrm{C}_{1} ~ a_{90} - 1 \end{aligned}$$ であるので， $a_{90}=\dfrac{37}{440}$ を得る．特に，解答すべき値は $\mathbf{477}$ である．