OMC225(F) - 漸化式を母関数を用いて導出

$$f(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+\dots,\quad g(x)=a_2+a_4x+a_6x^2+\dots$$ とおく.このとき, $$\begin{aligned} f(x)-\dfrac{x}{1-x}g(x)&=a_1+(a_3-a_2)x+(a_5-a_4-a_2)x^2+\dots\\ &=1\\ g(x)-\dfrac{1}{1-x}f(x)-\dfrac{x}{1-x}g(x)&=(a_2-a_1)+(a_4-a_3-a_2-a_1)x+(a_6-a_5-a_4-a_3-a_2-a_1)x^2+\dots\\ &=0 \end{aligned}$$ 第二式より, $f=(1-2x)g$ であるから, これを第一式に代入することで, $$\begin{aligned} &f(x)=\frac{(1-2x)(1-x)}{1-4x+2x^2}\\ &g(x)=\frac{1-x}{1-4x+2x^2} \end{aligned}$$ が成立. よって,$f(x),g(x)$ それぞれに $1-4x+2x^2$ をかけるとそれぞれ $3,2$ 次以降の項が $0$ になることから $n\geq 6$ について, $a_n-4a_{n-2}+2a_{n-4}=0$ が分かる.