OMC225(B)

　$BC=2x$ とおく．
　辺 $BC$ の中点を $M$ ，三角形 $ABC$ の外心を $O^\prime$ とすると，$OM=O’M=x$ と $AO=\sqrt{2} x$ より中線定理で
$$7^2+(\sqrt{2} x)^2=2(x^2+AM^2)$$ $$AM=\frac{7\sqrt{2}}{2}$$ がわかる．
　中線定理より，$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)=49+2x^2$
　また，$AE=EC,AD=DB$ より $AE^2+EB^2+AD^2+DC^2=EC^2+EB^2+DB^2+DC^2=2BC^2=8x^2$
　$BE=EH,CD=DH$ より $$\begin{aligned} AB^2+AC^2-(AE^2+EB^2+AD^2+DC^2) & =(AE+EB)^2+(AD+DC)^2-(AE^2+EB^2+AD^2+DC^2) \\ & =2AE・EB+2AD・DC \\ & =2AE・EH+2AD・DH \\ & =20 \end{aligned}$$ 　よって $(49+2x^2)-8x^2=20$ なので $$\begin{aligned} BC^2 & = (2x)^2 \\ & =\frac{58}{3} \end{aligned}$$ なので，解答すべき値は $\mathbf{61}$ ．