OMC225(B) - 面積に関する連立方程式を立てて解く方法

　$BE = a, EC = EA = b$ とおく．このとき，四角形 $BECO$ を $4$ つ組み合わせることで一辺の長さが $a+b$ の正方形ができるので，四角形 $BECO$ の面積は $\dfrac{(a+b)^2}{4}$ と分かる．また，$AB = AE + EB = a + b$ より，三角形 $ADB$ の面積も $\dfrac{(a+b)^2}{4}$ と分かる．よって，四角形 $BECO$ の面積と三角形 $ADB$ の面積が等しいため，四角形 $AEHD$ の面積と四角形 $BHCO$ の面積は等しく，共に $5$ と分かる．
　そこで，三角形 $ABC$，三角形 $BOC$，三角形 $BHC$ の面積をそれぞれ $S, T, U$ とおく．すると，$T + U = 5$ が直ちに分かる．また，$AD : AB = AE : AC = 1 : \sqrt{2}$ より，三角形 $ADE$ と三角形 $ABC$ は相似比 $1 : \sqrt{2}$，つまり，面積比 $1 : 2$ の相似な三角形同士であると分かる．同様に，$EH : BH = DH : CH = 1: \sqrt{2}$ より，三角形 $EHD$ と三角形 $BHC$ の面積比が $1 : 2$ とも分かる．よって，四角形 $AEHD$ の面積は $\dfrac{S + U}{2}$ となり，$S + U = 10$ も分かる．
　ここで，三角形 $AOC$ を点 $O$ を中心に点 $C$ が点 $B$ に重なるように回転移動させることを考える．このとき，点 $A$ の移動先を $A^\prime$ とする．すると，三角形 $AOA^\prime$ は $AO = A^\prime O = 7, \ \angle AOA^\prime = 90^\circ$ の直角二等辺三角形になるので，その面積は $\dfrac{49}{2}$ となる．また，四角形 $AOA^\prime B$ の面積は四角形 $ABOC$ の面積に等しく，$S + T$ と表される．そして，三角形 $ABA^\prime$ は $A^\prime B = AC, \ \angle ABA^\prime = 135^\circ$ を満たすため，その面積は三角形 $ABC$ のそれに等しく，$S$ で表される．よって，$2S + T = \dfrac{49}{2}$ が従う．
　以上を連立させて解くことで，$T = \dfrac{29}{6}$ が得られる．$T = \dfrac{BC^2}{4}$ より，$BC^2 = \dfrac{58}{3}$ が従う．