OMC225(B) - 中線定理を使わない方針

　公式解説とは異なる文字の使い方だが，$AC=b, AB=c$ とおく．

　公式解説と同様に，直角二等辺三角形をうまく活用して，四角形の面積の条件は次のように書き換えられる $$\tag {1} 20=-b^2-c^2+2 \sqrt{2}bc$$

　次に条件 $OA=7$ を活用したい．
　$\angle BOC=90^{\circ}$ なので，点 $O$ を中心に $\triangle ABC$ を $90^{\circ}$ 回転させて，点 $B$ が点 $C$ に一致するようにできる．このように回転移動したときの点 $A$ の移動先を $A^{\prime}$ としよう．このとき $\triangle ACA^{\prime}$ について，以下のことがわかる．

• 回転移動なので $A^{\prime}C=AB$
• $\triangle AOA^{\prime}$ は直角二等辺三角形なので $AA^{\prime}=7\sqrt{2}$
• 角度計算により $\angle ACA^{\prime}=135^{\circ}$

　よって余弦定理より $98=b^2+c^2+\sqrt{2}bc$ を得る．
　式 $(1)$ と連立させて， $$b^2+c^2=\dfrac{176}{3}, \sqrt{2}bc=\dfrac{118}{3}$$ 　$\triangle ABC$ に余弦定理を用いて， $$BC^2=b^2+c^2-\sqrt{2}bc=\dfrac{176}{3}-\dfrac{118}{3}=\dfrac{58}{3}$$

（さらなる別解）$AO=7$ の活用方針だけ記す．
　点 $O$ を中心に $\triangle ABC$ を $180^{\circ}$ 回転させて，点 $A,B,C$ の移動先をそれぞれ $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ とする．$AC$ と $A^{\prime}B^{\prime}$ の交点を $T$ とすると，$\triangle ATA^{\prime}$ について，以下のことがわかる．

• 四角形 $BCB^{\prime}C^{\prime}$ は正方形，特に $BC=C^{\prime}B^{\prime}$
• 適当な角度計算をすることによって $\triangle BHC \equiv \triangle CTB^{\prime}$
• 合同を用いて，$AT=\sqrt{2}c, A^{\prime}T=\sqrt{2}b, \angle ATA^{\prime}=135^{\circ}$

　$AA^{\prime}=2OA=14$ を用いれば，やはり余弦定理を活用することができる．