OMC225(B)

　三角形 $ABD, ACE, BEH, CDH$ はいずれも直角二等辺三角形である．$BE = a, ~ CD = b$ とおくと， $$AB = 2a + \sqrt2b, \quad AC = \sqrt2a + 2b$$ であり，四角形 $AEHD$ の面積は $$5 = \frac12 (a + \sqrt2b)^2 - \frac12 b^2 = \frac12(a^2 + b^2) + \sqrt2 ab$$ である．また，三角形 $ABC$ の外心を $P$，辺 $BC$ の中点を $M$ とすると，四角形 $BPCO$ は正方形となるので，中線定理より $$AO^2 = 2AM^2 + 2 PM^2 - AP^2$$ となる．$BC = 2m$ とおくと $PM = m , ~ AP = \sqrt2 m$ および $$2AM^2 = AB^2 + AC^2 - 2m^2 = 6(a^2 + b^2) + 8\sqrt2 ab - 2m^2$$ であり，三角形 $BEC$ での三平方の定理より $$4m^2 = 2(a^2 + b^2) + 2\sqrt2 ab$$ だから， $$49 = AO^2 = 2AM^2 =5(a^2 + b^2) + 7\sqrt2 ab$$ を得る．以上より， $$\left\lbrace \begin{aligned} & a^2 + b^2 + 2\sqrt2 ab = 10 \\ & 5(a^2 + b^2) + 7\sqrt2 ab = 49 \end{aligned} \right.$$ を解けばよく， $$a^2+b^2 = \frac{28}{3}, \quad \sqrt2 ab = \frac{1}{3}$$ を得る．したがって， $$BC^2 = 2(a^2 + b^2) + 2\sqrt2 ab = \frac{58}{3}$$ なので，解答すべき値は $\mathbf{61}$．