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OMC223

OMC223(F) - 補題の別証明

ユーザー解説 by jjmmxx

補題.
　22 つの三角形 XYZ,X′Y′Z′XYZ,X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime} が与えられており，辺 XY,X′Y′XY,X^{\prime}Y^{\prime} の中点をそれぞれ M,M′M,M^{\prime} としたときに， ∠XZM=∠X′Z′M′, ∠YZM=∠Y′Z′M′∠XZM = ∠X^{\prime}Z^{\prime}M^{\prime}, ~ ∠YZM = ∠Y^{\prime}Z^{\prime}M^{\prime} が成り立っているならば △XYZ∼△X′Y′Z′\triangle XYZ \sim \triangle X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}.

　三角形 ZXMZXM と ZYMZYM について，面積比より ZX×ZM×sin⁡∠XZMZY×ZM×sin⁡∠YZM=1\frac{ZX×ZM×\sin∠XZM}{ZY×ZM×\sin∠YZM} = 1 同様に Z′X′M′Z^{\prime}X^{\prime}M^{\prime} と Z′Y′M′Z^{\prime}Y^{\prime}M^{\prime} について， Z′X′×Z′M′×sin⁡∠X′Z′M′Z′Y′×Z′M′×sin⁡∠Y′Z′M′=1\frac{Z^{\prime}X^{\prime}×Z^{\prime}M^{\prime}×\sin∠X^{\prime}Z^{\prime}M^{\prime}}{Z^{\prime}Y^{\prime}×Z^{\prime}M^{\prime}×\sin∠Y^{\prime}Z^{\prime}M^{\prime}} = 1 　従って， ZX×ZM×sin⁡∠XZMZY×ZM×sin⁡∠YZM=Z′X′×Z′M′×sin⁡∠X′Z′M′Z′Y′×Z′M′×sin⁡∠Y′Z′M′\frac{ZX×ZM×\sin∠XZM}{ZY×ZM×\sin∠YZM} = \frac{Z^{\prime}X^{\prime}×Z^{\prime}M^{\prime}×\sin∠X^{\prime}Z^{\prime}M^{\prime}}{Z^{\prime}Y^{\prime}×Z^{\prime}M^{\prime}×\sin∠Y^{\prime}Z^{\prime}M^{\prime}} で，仮定より ZXZY=Z′X′Z′Y′\dfrac{ZX}{ZY} = \dfrac{Z^{\prime}X^{\prime}}{Z^{\prime}Y^{\prime}} が分かる．∠XZY=∠X′Z′Y′∠XZY = ∠X^{\prime}Z^{\prime}Y^{\prime} であるから， △XYZ∼△X′Y′Z′\triangle XYZ \sim \triangle X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime} を得る．