OMC223(B) - 余事象を数える

　$n=555$ とする．問題の条件を満たさないような $(i_1,i_2,i_3,i_4,i_5)$ の総数を数えよう．これは次の $2$ つの場合に分けられる．

$(1)$ $P_{i_1},P_{i_2},P_{i_3},P_{i_4},P_{i_5}$ のうちのどの $2$ 点の組も直径でない．

$(2)$ $P_{i_1}P_{i_2},P_{i_2}P_{i_3},P_{i_3}P_{i_4},P_{i_4}P_{i_5},P_{i_5}P_{i_1}$ のうち，いずれかが直径．

　 $\{ i_1,i_2,i_3,i_4,i_5 \}$ を $1$ 以上 $2n$ 以下の整数から区別なく $5$ つ選ぶものと考える．

• $(1)$ について
  　$n$ 本の直径の中から $5$ 本を選び，さらにどちらの端を点として選ぶか決めれば良い．

• $(2)$ について
  　$n$ 本の直径の中から $1$ 本選び，その両端の点を $2$ 点とする．残りの $3$ 点は，選んだ直径によって分けられた $2$ 領域の中から片方を選び，そこの $n-1$ 点から $3$ つ選べば良い．

　よって求める値は， $${}_{2n}\mathrm{C}_{5} - \underbrace{ {}_{n}\mathrm{C}_{5}×2^5}_{(1)} - \underbrace{ n×2×{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}}_{(2)} = \mathbf{94027093230}$$ である．