OMC223(A) - 包除原理

　$x,y,z$ が相異なるような組の総数を $6$ で割った値が求める値に等しい．代わりに，「$x,y,z$ のうち，少なくとも $2$ つは等しい」ような $(x,y,z)$ の総数 $S$ を数える．

　$x=y, ~ y=z, ~ z=x$ なる $(x,y,z)$ の集合をそれぞれ $A,B,C$ とおく．すると包除原理，および $A,B,C$ に対する対称性より $$S = |A \cup B \cup C| = 3|A| - 3|A \cap B| + |A \cap B \cap C|$$ が分かる．また $A \cap B = A \cap B \cap C$ であるから， $$S = 3|A| - 2|A \cap B|$$ である．
　$|A|$ について，$30^6$ の平方数の正の約数は $(3+1)^3 = 64$ 個あり，符号を考慮すればそれぞれ $2$ 通りあるため，$|A| = 128$ が分かる．
　$|A \cap B|$ について，これは $x=y=z=30^2$ に限られるので $|A \cap B| = 1$．

　以上より，$S = 382$ なので，求める値は $$\frac{4×28^3-S}{6} = \mathbf{14571}.$$