OMC221(D) - A,R,C が共線であることの別証明など

　$A,R,C$ が共線であることの別証明を紹介する．
　点 $P$ が辺 $AB$ 上を動き，それに合わせて点 $R$ が条件を満たすように動くことを考える．
　このとき $\overrightarrow{DR}$ は，$\overrightarrow{DP}$ を定数倍して，点 $D$ 中心に一定の角度回転させたベクトルである．勘の良い人であれば，以上の説明だけで，点 $R$ がある直線上に存在すると直観するかもしれない（ちなみに私は勘が良くない）．
　より具体的に説明すると，①点 $D$ を原点とした直交座標系を取れば，点 $P,R$ はある行列によって座標変換した関係だと言えるし，②点 $D$ を原点とする複素数平面を取れば，点 $P,R$ はある複素数倍した関係だと言える．いずれにしても，直線を直線に移す変換であることが言える．
　あとは，点 $P$が 点 $A$ に一致する場合，点 $P$ が点 $B$ に一致する場合について確かめれば，$A,R,C$ が共線であることを示せる．

　せっかくなので，この後の別解について，ベクトルを使ったものを書いておく．
　$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$ とおく．実数 $s,t$ を用いて　$\overrightarrow{AP}=10t\overrightarrow{b},\overrightarrow{AQ}=9t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d},\overrightarrow{AR}=s(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})$ とおける（$0 \lt s \lt 1$，$0 \lt t \lt \dfrac{1}{10}$である）．
　$\overrightarrow{BR} \ // \ \overrightarrow{BQ}$ を用いれば次の式を得る： $$t=\dfrac{2s-1}{9s}$$ 　また $|\overrightarrow{DR}|^2=|\overrightarrow{DP}|^2$ を用いれば次の式を得る（$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=\alpha$ とおいた）： $$\alpha=\dfrac{10t-2s+1}{2s}$$ 　以上の 2 式を用いれば，次のように計算できる： $$\alpha=-\dfrac{5}{9} \left( \dfrac{1}{s}- \dfrac{29}{20}\right)^2+\dfrac{121}{720}$$ 　$AC^2=2+2\alpha$ より $\alpha=\dfrac{121}{720}$ のとき $AC$ は最大である．