OMC221(D) - Ptolemyの定理を使う

　ラストの二次式立てのときにPtolemyの定理を用いる方法です．

　$A, P, R, D$ が共円であること，および $R$ が $AC$ 上にあることは公式解説と同様に確かめられる．また，$AB \parallel DC$ から $\triangle ABR \sim \triangle CQR$ を導くことができ，$AB = BC, PR = RD, \angle ABC = \angle PRD$ から $\triangle ABC \sim \triangle PRD$ を導くことができる．
　$CQ = x, AC = y$ とおく．すると $$AP = \frac{10}{9}DQ = \frac{10}{9}(1 - x)$$ が得られ，$\triangle ABR, \triangle CQR$ の相似比が $1 : x$ であることから $$AR = \frac{1}{x + 1}AC = \frac{y}{x + 1}$$ が得られ，さらに $\triangle ABC \sim \triangle PRD$ より $$\frac{DP}{PR} = \frac{AC}{AB} = y$$ が得られる．四角形 $APRD$ に関してPtolemyの定理を用いると $$AR \times DP = AD \times PR + AP \times RD = (AD + AP) \times PR$$ より， $$\frac{y^2}{x + 1} = AR \times \frac{DP}{PR} = AD + AP = \frac{10}{9}(1 - x) + 1$$ が成り立つので，これより $$y = \frac{1}{3}\sqrt{(19 - 10x)(x + 1)}$$ を得る．この右辺は $x = \dfrac{9}{20}$ で最大値 $\dfrac{29\sqrt{10}}{60}$ をとる（$x$ がこの値のときの図は確かに存在する）．よって，解答すべき値は $\mathbf{99}$ である．