OMC221(D) - 別解

　公式解説同様, $A,R,C$ は共線であり, $AC$ は $BD$ の垂直二等分線であるから, $RD=RB$ が成り立つ. したがって, $AP=10x(\iff DQ=9x)$ とし, $R$ から $AB,CD$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $H_1,H_2$ とすると, $PR=RB$ より, $$PH_1=H_1B=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}-5x$$ $\triangle RAB$ と $\triangle RCQ$ は相似で, $H_1,H_2$ はこれらの相似において, それぞれ対応関係にあるから, $$H_2Q=\frac{CQ}{AB}H_1B=\Big(1-9x\Big)\Big(\frac{1}{2}-5x\Big)$$ したがって, $$\begin{aligned} AH_1&=AP+PH_1=5x+\frac{1}{2}\\ DH_2&=DQ+QH_2=45x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \end{aligned}$$ が成立し, $\angle DAB=\theta$ とおくと, $AH_1=DH_2+AD\cos{\theta}$ が成立し, これを整理すると, $\cos{\theta}$ と $x$ について, 以下を得る. $$\cos{\theta}=-45x^2+\frac{11}{2}x$$ $0\lt 10x \lt 1$ の範囲で上の式は $x=\dfrac{11}{180}$ のとき, 最大値 $\dfrac{121}{720}$ をとり, 実際 $x=\dfrac{11}{180}$ を満たす図は存在するので, $$AC=2AB\cos{\dfrac{\theta}{2}}=2\sqrt{\frac{\cos{\theta}+1}{2}}$$ は, $\cos{\theta}=\dfrac{121}{720}$ のとき最大値 $\dfrac{29\sqrt{10}}{60}$ をとる.