OMC221(D)

　$\angle DAP+\angle PRD=180^\circ$ より $A, P, R, D$ は共円である．円周角の定理より $\angle RAP=\angle RDP=\angle RPD=\angle RAD$ であるから，$R$ は $AC$ 上にある．
　$PD$ と $AC$ の交点を $S$ とおく．$\triangle BRS$ を $AC$ に関して線対称移動した図形が $\triangle DRS$ である．よって，$\angle RBS=\angle RDS=\angle RPS$ となるから $B, R, S, P$ は共円である．
　$AP=x\ (0\leq x \leq 1)$ とおく．$AB \parallel CD$ より， $$AS:SC=AP:CD=x:1,\quad AR:RC=AB:CQ=1:\bigg(1-\dfrac{9}{10}x\bigg)$$ よって，$AC=k(x+1)\bigg(2-\dfrac{9}{10}x\bigg)\ (k\geq 0)$ とおけば，$AS=kx \bigg(2-\dfrac{9}{10}x \bigg),\ AR=k(x+1)$．方べきの定理より $AP \times AB=AS \times AR$ であるから， $$k=\cfrac{1}{\sqrt{(x+1) \bigg(2-\cfrac{9}{10}x \bigg)}}$$ 従って， $$AC=\sqrt{(x+1) \bigg(2-\dfrac{9}{10}x \bigg)}$$ であり，この値は $x=\dfrac{11}{18}$ のとき，最大値 $\dfrac{29 \sqrt{10}}{60}$ をとる．よって，特に解答すべき値は $\bm {99}$．