OMC221(F)

　平面 $z = k$ 上で $x$ 軸方向に $x_k$, $y$ 軸方向に $y_k$ だけ移動したとすると，$\displaystyle\sum_{k=0}^{100} x_k = 400, \sum_{k=0}^{100} y_k = 400$ および $S_k = x_k y_k$ が成立し，$x_k, y_k \gt 0$ としてよい．$\lbrace x_k \rbrace_{k = 0}^{100}$ と $\lbrace y_k \rbrace_{k = 0}^{100}$ の組それぞれに対応する移動方法は $\displaystyle\prod_{k=0}^{100} \dfrac{(x_k + y_k)!}{x_k! y_k!}$ 通り存在するから，スコアへの寄与は $$\prod_{k=0}^{100} \dfrac{(x_k + y_k)!}{x_k! y_k!} \prod_{k=0}^{100} S_k = 2^{101} \times \prod_{k=0}^{100} \dfrac{(x_k + y_k)!}{(x_k - 1)! (y_k - 1)! 2!}$$ となる．上式の右辺の総積部分は，原点 $(0, 0, 0)$ から点 $(299, 299, 302)$ への移動であって，各 $m = 1, 2, \ldots, 100$ について平面 $z = 3m - 1$ から平面 $z = 3m$ へ移動するときの $x, y$ 座標が $\displaystyle\sum_{k = 0}^{m - 1} (x_k - 1), \displaystyle\sum_{k = 0}^{m - 1} (y_k - 1)$ となるものの総数に等しいから，$M = 2^{101} \times \dfrac{900!}{299!299!302!}$．