OMC221(F) - 別解

　$k=0,1,\dots,100$ について 平面 $z=k$ 内で, $x,y$ 方向に $1$ 進む回数をそれぞれ $x_k,y_k$ とおくと, スコアは $\prod_{k=0}^{100}x_ky_k$ となり, そのような操作方法は $\prod_{k=0}^{100}\binom{x_k+y_k}{x_k}$ 通りとなる. したがって, $$\begin{aligned} x_0+x_1+\dots+x_{100}=400,\\ y_0+y_1+\dots+y_{100}=400 \end{aligned}$$ を満たす非負整数の組 $(x_0,x_1,\dots,x_{100},y_0,y_1,\dots,y_{100})$ すべてについて, $$\Bigg(\prod_{k=0}^{100}x_ky_k\Bigg)\Bigg(\prod_{k=0}^{100}\binom{x_k+y_k}{x_k}\Bigg)=\Bigg(\prod_{k=0}^{100}x_ky_k\binom{x_k+y_k}{x_k}\Bigg)$$ の総和を求めれば良い.
　$x,y$ の $2$ 変数冪級数について以下が成立する. $$f(x,y)=\dfrac{1}{1-(x+y)}=\sum_{k=0}^{\infty}(x+y)^k=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{i+j}{i}x^iy^j$$ これを用いて, $g(x,y)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}ij\binom{i+j}{i}x^iy^j$ は以下のように表示できる. $$\begin{aligned}g(x,y)&=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}ij\binom{i+j}{i}x^iy^j\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}xy\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\binom{i+j}{i}x^iy^j\Bigg)\\ &=xy\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\Bigg(\binom{i+j}{i}x^iy^j\Bigg)\Bigg)\\ &=xy\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{1}{1-x-y}\Bigg)\\ &=\frac{2xy}{(1-x-y)^3} \end{aligned}$$ 　$M$ は $(g(x,y))^{101}$ の $x^{400}y^{400}$ の係数であり, 以下のように計算できる. $$\begin{aligned} [x^{400}y^{400}](g(x,y))^{101}&=[x^{400}y^{400}]\frac{(2xy)^{101}}{(1-x-y)^{303}}\\ &=2^{101}[x^{400-101}y^{400-101}]\frac{1}{(1-(x+y))^{303}}\\ &=2^{101}[x^{299}y^{299}]\Bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+302}{302}(x+y)^k\Bigg)\\ &=2^{101}[x^{299}y^{299}]\Bigg(\binom{(299+299)+302}{302}(x+y)^{299+299}\Bigg)\\ &=2^{101}\times\binom{900}{302}\binom{598}{299}\\ &=2^{101}\times\frac{900!}{302!299!299!}\\ \end{aligned}$$ となる.