OMC214(D) - 連立方程式を回避する方法

$f(x)=a(10x-1)^4+b(10x+1)^4+c(20x-1)^4+d(20x+1)^4$ と定めると $$\begin{cases}f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=-1\\e=f(1)+1\end{cases}$$である．因数定理より，実数 $k$ を用いて $$f(x)=k(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-1=k(x^4-14x^3+71x^2-154x+120)-1$$ と表すことができる．$k$ を決定するために，$f(x)$ の係数の間の関係式を得たい．$g_\lambda(x)=(\lambda x-1)^4$ と定めると，$f(x)$ は $g_{10}(x),g_{-10}(x), g_{20}(x),g_{-20}(x)$ の線型結合である．そこで $g_\lambda(x)$ の係数の間の関係式を考える． $$g_\lambda(x)=\lambda^4x^4-4\lambda^3 x^3+6\lambda^2 x^2-4\lambda x+1$$ より $g_\lambda(x)$ の係数は $\lambda^4,-4\lambda^3,6\lambda^2,-4\lambda,1$ である．ここで $\lambda=10,-10,20,-20$ に対して $$0=(\lambda-10)(\lambda+10)(\lambda-20)(\lambda+20)=\lambda^4-500\lambda^2+40000$$ が成り立つので $$(g_\lambda(x)\text{の}x^4\text{の係数})-\dfrac{500}{6}(g_\lambda(x)\text{の}x^2\text{の係数})+40000(g_\lambda(x)\text{の定数項})=0$$ となる．この性質は線型結合を取っても保たれるので $$(f(x)\text{の}x^4\text{の係数})-\dfrac{500}{6}(f(x)\text{の}x^2\text{の係数})+40000(f(x)\text{の定数項})=0$$ が得られる．この式から $k=\dfrac{120000}{14382253}$ であることがわかり，$e=f(1)+1$ が計算できる．