OMC212(E)

点数: 500

Writer: natsuneko

　はじめ，黒板に $256$ 個の長さ $2$ の数列 $(2n-1, 2n) ~ (n=1,2,\dots,256)$ が書かれています．これらの数列に対して次の操作を考えます．

• 操作：長さが等しい $2$ つの相異なる数列 $(a_1, \ldots, a_m)$ および $(b_1, \ldots, b_m)$ であって，任意の $1 \le k \le m$ について $a_k \le b_k$ をみたすものを黒板から選び，それらを消す．そして，黒板に長さが $2$ 倍の数列 $(a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_m, b_m)$ を新たに書き足す．

この操作を何度か行った結果，黒板には数列 $(t_1, \ldots, t_{512})$ のみが書かれている状態になりました．$1\le i \le 512$ それぞれについて，$t_i$ としてありうる値の種類数を $f(i)$ とするとき， $$f(1) + f(2) + \cdots + f(512)$$ の値を解答してください．