OMC211(E)

　公式解説と同様の考察により, 求める答えは, $20$ を偶数個の正整数に分割する方法の数であるとわかる. $$f=x+x^2+x^3+\cdots=\frac{x}{1-x}$$ とすると $20$ を $k$ 個の正整数に分割する方法は, $$[x^{20}](x+x^2+x^3+\cdots)^k=[x^{20}]f^k$$ であるから $k=0,2,4,8,\dots$ について, $[x^{20}]f^k$ を合計すれば求める答えは, $$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}[x^{20}]f^{2n}&=[x^{20}]\sum_{n=0}^{\infty}f^{2n}\\ &=[x^{20}]\frac{1}{1-f^2}\\ &=[x^{20}]\frac{1}{1-\Big(\dfrac{x}{1-x}\Big)^2}\\ &=[x^{20}]\frac{1-2x+x^2}{1-2x}\\ &=[x^{20}]\frac{1}{1-2x}-2[x^{19}]\frac{1}{1-2x}+[x^{18}]\frac{1}{1-2x}\\ &=2^{20}-2\times2^{19}+2^{18}\\ &=2^{18} \end{aligned}$$