OMC204(D)

点数: 500

Writer: Shota_1110

　正の約数をちょうど $30$ 個もつ正整数 $n$ について，その正の約数のうち $k$ 番目に小さいものを $d_k$ としたとき， $$\frac{d_1}{d_{16}} = \frac{d_2}{d_{17}} = \cdots = \frac{d_{15}}{d_{30}}, \quad d_7 \lt 123 \lt d_8$$ がともに成り立ち，さらに $d_{16}$ は合成数でした．このような $n$ としてありうるものの総積 $P$ について，$P$ の正の約数の個数を解答してください．