OMC202(F)

点数: 500

Writer: Shota_1110

　実数 $x$ に対し，$x$ 以下で最大の整数を $\lfloor x \rfloor$，$x$ 以上で最小の整数を $\lceil x \rceil$ と表します．また，関数 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ と，$g\colon \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ を，それぞれ以下のように定義します： $$f(x) = \frac{x + \lfloor x \rfloor}{2}, \quad g(x) = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{\lceil x \rceil - x}$$

ここで正整数 $N$ を定めたところ，長さ $N + 1$ の実数列 $(a_0, a_1, \ldots, a_N)$ であって，以下 $3$ 条件をすべてみたすものが存在しました：

• $a_0 = \dfrac{11}{10}$ かつ $a_N = 1110$ である．
• $a_1, \ldots, a_{N-1}$ は，いずれも整数でない．
• 任意の $1$ 以上 $N$ 以下の整数 $n$ について，$a_n = f(a_{n - 1})$ または $a_n = g(a_{n - 1})$ が成り立つ．

このような $N$ のとりうる最大値と最小値の積を解答してください．