OMC200(F) - 反転を用いる方法

　$OH$ と $AM$ の交点を $G$ とする( $G$ は $\triangle ABC$ の重心である)．
　$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とする．
　ここで，点 $A$ 中心，半径 $\sqrt{AH・AD}=\sqrt{AG・AM}$ の反転を考える(等式は $\angle AGH=90°$ からわかる)．
　点 $X$ を反転で移した先を $X^*$ と表すと，$D^*=H,H^*=D,M^*=G,G^*=M$ である．
　また，$4$ 点 $A,B^*,D^*,M^*$ と $A,P^*,H^*,G^*$ はそれぞれ同一円周上にあるので，$HB^* ⊥AB,MP^* ⊥AB$ が成り立つ．よって $B^* =F$ であり， $B^* P^* =P^* B$ が成り立つ．
　$AB^*:AP^*=AP:AB=17:24$ と併せて，$AB^* :B^* P^* :P^* B=17:7:7$ が成り立つ．
　つまり $AB^*=\dfrac{408}{31},B^* P^* =P^* B=\dfrac{168}{31}$ である．
　ここから中線定理等を用いれば $AC^2=\dfrac{21312}{31}$ となる．