OMC200(F) - 初等解（提出時の解法）です

$HO$ と $AM$ の交点を $G$ とすると，$G$ は三角形 $ABC$ の重心である. $BC$ について $G$ と対称な点を $I$，$GI$ と $BC$ の交点を $D$ とする. $I$ は三角形 $ABC$ の外接円上にある. いま，$A, B, C, M$ から $HO$ に下ろした垂線の足を $H_A, H_B, H_C, H_M$ とすると，$$H_A=\dfrac{AG}{GM}H_M=2H_M=H_B+H_C$$ より，三角形 $AHO$ の面積は $BHO, CHO$ の面積の和に等しい. よって，$HO$ と $AC$ の交点を $Q$ とすると，$AQ:QC=|AHO|:|CHO|=|AHO|:|AHO|-|BHO|=17:10$ が成り立つ. ここで，三角形 $GBC$ の垂心を $H_G$ とすると，角度追跡により三角形 $H_GBC$ と三角形 $AQP$ は相似であり，よって $$BD:DC=H_GB×IB:H_GC×IC=17x×8\sqrt 3:10×9\sqrt 3x=8:9$$ が成り立つ. したがって，$AH$ と $BC$ の交点を $E$ とすると，$AE$ と $GD$ は平行だから，$EM=3DM$ なので，$BE=14y, EC=20y$ とおける. よって，$AE=\sqrt{AM^2-EM^2}=\sqrt{858}y$ より，$$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{1054}y,　AC=\sqrt{AE^2+EC^2}=\sqrt{1258}y.$$ したがって，$AB=24$ より，$AC=24\sqrt{\dfrac{1258}{1054}}=24\sqrt{\dfrac{37}{31}}$ がわかり，解答すべき値は $\textbf{21343}$.