OMC198(F)

点数: 800

Writer: simasima

　正の整数 $3$ つの組からなる集合 $B$ を $$B = \{ (x, y, z) \mid 1\leq x \leq 5, ~ 1\leq y \leq 6, ~ 1\leq z \leq 7 \}$$ で定めます．$B$ の元に対して定義され整数値をとる関数 $f$ が良い関数であるとは，$(x+a, y+a, z+a) \in B$ をみたす任意の正の整数 $x,y,z,a$ について，

$$\begin{aligned} &f(x,y,z)+f(x,y+a,z+a)+f(x+a,y,z+a)+f(x+a,y+a,z) \\ &\gt f(x+a,y,z)+f(x,y+a,z)+f(x,y,z+a)+f(x+a,y+a,z+a) \end{aligned}$$

を満たすことをいいます．良い関数 $f$ のスコア $S$ を次のように定義します．

$$S=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{6}\sum_{k=1}^{7} \lvert f(i,j,k)\rvert$$

$S$ としてあり得る最小値を $S_{\mathrm{min}}$ とするとき，スコアが $S_{\mathrm{min}}$となるような良い関数はいくつありますか？