OMC194(F) - がんばって計算する方法

　$P=2752752752753$ とする．$11011011011011=4P-1$ である．
　$N$ の正の約数 $d$ であって，$f(d)$ を $4$ で割った余りが $1$ または $2$ となるものの総和を $g(N)$ で表す（$S=g(1001^{4P-1})$ である）．このとき，$S=g(1001^{4P-1}) \equiv g(1001^3) \mod P$ であることを示す．
$f(7^{(4k+a)} \ 11^{(4l+b)} \ 13^{(4m+c)}) \equiv f(7^a \ 11^b \ 13^c) \mod 4$ であることに注目すると，次のように計算できる． $$\begin{aligned} S & = g(1001^3)(1+7^4+ \cdots + 7^{4(P-1)}) (1+11^4+ \cdots + 11^{4(P-1)}) (1+13^4+ \cdots + 13^{4(P-1)}) \\ & = g(1001^3) \dfrac{7^{4P}-1}{7^4-1}\cdot \dfrac{11^{4P}-1}{11^4-1}\cdot \dfrac{13^{4P}-1}{13^4-1} \\ & \equiv g(1001^3) \end{aligned}$$ 最後の合同式では，Fermat の小定理を用いた．
　よって以下，$g(1001^3)$ の値を求めることが目標となる．（なお，$1001^3$ の約数の総和は，高々 $1001^3×\frac{7}{6}×\frac{11}{10}×\frac{13}{12} \lt 2×1001^3 \lt 10^{10} \lt P$ より，$g(1001^3)$ が求めるべき解である．）
　$1001^3$ の正の約数は $64$ 個なので，あとは，$64$ 個以下の整数の和を求めればよいことになる．多少の時間があれば計算可能である．

　ここでは，$f(d)$ の値によって分けて考える．
(i) $f(d)=1$ のとき：$7+11+13=31$
(ii) $f(d)=2$ のとき：$7^2+11^2+13^2+7 \cdot 11+11 \cdot 13 +13 \cdot 7=650$
(iii) $f(d)=5$ のとき：次のいずれかの式から考えるのがよい．
$7 \cdot 11 \cdot 13(7^2+11^2+13^2+7 \cdot 11+11 \cdot 13 +13 \cdot 7)+7^2 \ 11^2 (7+11)+11^2 \ 13^2 (11+13)+13^2 \ 7^2 (13+7)=1413768$
$(7^2 \ 11^2+11^2 \ 13^2+13^2 \ 7^2)(7+11+13)+7 \cdot 11 \cdot 13 (7^2+11^2+13^2)=1413768$
(iv) $f(d)=6$ のとき：次のいずれかの式から考えるのがよい．
$7^3 \ 11^3 +11^3 \ 13^3 + 13^3 \ 7^3 + 7 \cdot 11 \cdot 13 (7^2 \ 11+7^2 \ 13 +11^2 \ 13 + 11^2 \ 7+ 13^2 \ 7+13^2 \ 11)+7^2 \ 11^2 \ 13^2=11780950$
$(7^2 \ 11^2+11^2 \ 13^2+13^2 \ 7^2)( 7 \cdot 11+11 \cdot 13 +13 \cdot 7)+7^2 \ 11^2 \ 13^2=11780950$
(v) $f(d)=9$ のとき：$7^3 \ 11^3 \ 13^3=1003003001$
よって，以上の和を計算して，$\mathbf{1016198400}$ が解答である．