OMC194(F)

　$P = 2752752752753$ とおき，$1001^{11011011011011} = (7 \cdot 11 \cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数 $d$ のうち $f(d)$ が $4$ で割って $0, 1, 2, 3$ 余るものの総和をそれぞれ $A, B, C, D$ とおく．ここで複素数 $z$ を $$z = (1 + 7i + \cdots + (7i)^{4P - 1})(1 + 11i + \cdots + (11i)^{4P - 1})(1 + 13i + \cdots + (13i)^{4P - 1})$$

と定めれば， $$z = (A - C) + (B - D)i$$

が成り立つ．
　各 $p \in \{7, 11, 13\}$ に対し， $$1 + pi + \cdots + (pi)^{4P - 1} = (1 + pi) \cdot \dfrac{1 - p^{4P}}{1 + p^2}$$ であり，Fermatの小定理を用いることで， $$\dfrac{1 - p^{4P}}{1 + p^2} \equiv \dfrac{1 - p^4}{1 + p^2} = 1 - p^2 \pmod{P}$$ であるから， $$\begin{aligned} A - C &\equiv \mathrm{Re}((1 + 7i)(1 + 11i)(1 + 13i)) \times (1 - 7^2)(1 - 11^2)(1 - 13^2) \\ &= (-310) \times (-48) \times (-120) \times (-168) \\ &= 299980800 \pmod{P} \\ B - D &\equiv \mathrm{Im}((1 + 7i)(1 + 11i)(1 + 13i)) \times (1 - 7^2)(1 - 11^2)(1 - 13^2) \\ &= (-970) \times (-48) \times (-120) \times (-168) \\ &= 938649600 \pmod{P} \end{aligned}$$ が成り立つ．
　一方で，各 $p \in \{7, 11, 13\}$ に対し，再びFermatの小定理を適用させることで $$1 + p + \cdots + p^{4P - 1} = \dfrac{p^{4P} - 1}{p - 1} \equiv \dfrac{p^4 - 1}{p - 1} = (p + 1)(p^2 + 1) \pmod{P}$$

が得られるので，$(7 \cdot 11 \cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数の総和 $A + B + C + D$ について $$\begin{aligned} A + B + C + D &\equiv (7 + 1)(7^2 + 1)(11 + 1)(11^2 + 1)(13 + 1)(13^2 + 1) \\ &= 1393728000 \pmod{P} \end{aligned}$$ が成り立つ．以上より， $$\begin{aligned} S &= B + C \\ &= \dfrac{(A + B + C + D) - (A - C) + (B - D)}{2} \\ &\equiv \dfrac{1393728000 - 299980800 + 938649600}{2} = \mathbf{1016198400} \pmod{P} \end{aligned}$$ である．