OMC194(B) - 公式解説の補足

　 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_m^{a_m}$ と素因数分解されるすると， $f(n)=n^{\frac{1}{2}(a_1+1)(a_2+1)…(a_m+1)}$ であることを示す．

$$\begin{aligned} f(n)&=f\left(\prod_{k=1}^{m}p_k^{a_k}\right) \\ &=\prod_{i_1=0}^{a_1}\prod_{i_2=0}^{a_2}…\prod_{i_m=0}^{a_m}\left(\prod_{k=1}^{m}p_k^{i_k}\right) \\ &=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\sum_{i_1=0}^{a_1}\sum_{i_2=0}^{a_2}…\sum_{i_m=0}^{a_m}i_k} \\ &=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\frac{1}{2}(a_k+1)\prod_{i=1}^{m}(a_i+1)} \\ &=n^{\frac{1}{2}\prod_{i=1}^{m}(a_i+1)} \end{aligned}$$

　特に本問では， $n=2^a5^b7^c$ と置くと， $f(n)=n^{\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1)}$ となる．