OMC194(B)

　条件より $5n$ がもつ素因数の集合は $\{2,5,7\}$ であるから，$n=2^a5^b7^c$ と表せる．このとき， $$\frac{f(5n)}{f(n)}=\frac{(5n)^{(a+1)(b+2)(c+1)/2}}{n^{(a+1)(b+1)(c+1)/2}}=5^{(a+1)(b+2)(c+1)/2}n^{(a+1)(c+1)/2}$$ である．これが $140^{90}=2^{180}5^{90}7^{90}$ に等しいことから，各素因数の指数を比較して $$a(a+1)(c+1)=360,\quad (a+1)(b+1)(c+1)=90,\quad (a+1)c(c+1)=180.$$ これは $(a,b,c)=(8,1,4)$ を唯一の解にもつから，特に解答すべき値は $\textbf{3073280}$ である．