OMC192(F) - 三角関数を使った解法

　角 $A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $P$ とし， $PQ$ が角 $A$ 内の傍接円の直径となる点 $Q$ を取る．
　 $\Omega$ ， $\omega_2$ ，角 $A$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $R,r,r_A$ とする．
　中心を点 $A$ ，半径を $\sqrt{AB\times AC}$ とする反転を行った後， $∠BAC$ の二等分線に関して対称移動する操作を行うと， $\Omega$ は直線 $BC$ に， $\omega_2$ は角 $A$ 内の傍接円の $Q$ での接線に移る．したがって， $r:R=AF:AF+2r_A$ ．（詳しくはSchwarzeKatze9さんの記事が参考になります． https://mathlog.info/articles/3944 ）
　 $|BD-CE|$ を $R,A,B-C$ で表すと，

$$\begin{aligned} |BD-CE|&=|AC-AB| \\ &=|2R\sin B-2R\sin C| \\ &=2R\left|2\cos \dfrac{B+C}{2}\sin \dfrac{B-C}{2}\right| \\ &=4R\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{|B-C|}{2} \end{aligned}$$

　すなわち $\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{|B-C|}{2}=\dfrac{|BD-CE|}{4R}$ ．

　また $r:R=AF:AF+2r_A$ より，

$$\begin{aligned} \dfrac{R}{r}&=\dfrac{AF+2r_A}{AF} \\ &=1+\dfrac{2\times4R\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}}{2R\sin B\sin C} \\ &=1+\dfrac{\sin \dfrac{A}{2}}{\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}} \\ &=1+\dfrac{2\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{B-C}{2}-\sin \dfrac{A}{2}} \end{aligned}$$

　すなわち $\dfrac{\cos \dfrac{B-C}{2}}{\sin \dfrac{A}{2}}=\dfrac{R+r}{R-r}$ ．

　よって，

$$\begin{aligned} FM&=\dfrac{1}{2}|CF-BF| \\ &=\dfrac{1}{2}|2R\sin B\cos C-2R\sin C\cos B| \\ &=R\sin |B-C| \\ &=2R\times \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{|B-C|}{2}\times\dfrac{\cos \dfrac{B-C}{2}}{\sin \dfrac{A}{2}} \\ &=2R\times \dfrac{|BD-CE|}{4R}\times \dfrac{R+r}{R-r} \\ &=\dfrac{79725}{463} \end{aligned}$$

　より答えるべき値は $\mathbf{80188}$ ．