OMC192(F)

　$\omega_2$ と辺 $AB, AC$ の交点のうち $A$ でない方ををそれぞれ $P,Q$ とし，$\angle BAC$ の二等分線を $\alpha$ とする．中心を点 $A$，半径を $\sqrt{AB\times AQ} = \sqrt{AC\times AP}$ とする反転を行った後に直線 $\alpha$ に関して対称移動させる操作を行うと，直線 $BC$ と $\omega_2$，直線 $PQ$ と $\Omega$ がそれぞれ移り合う．従って，$\omega_1$ に上記操作を行なって得られる円は四角形 $BCQP$ に内接する．よって，$BC+PQ=PB+QC$ から $$AP+AQ+PQ=AB+AC-BC$$ を得る．また，三角形 $ABC$ と三角形 $APQ$ の相似比は $12345:6789$ であるから， $$\dfrac{AB+AC}{BC} =\dfrac{12345+6789}{12345-6789}=\dfrac{3189}{926}$$ となる．ここで， $$2FM=|BF-CF|=\frac {|BF^2-CF^2|} {BF+CF} =\frac {|AB^2-AC^2|} {BC} =|AB-AC| \cdot \frac {AB+AC} {BC}$$ であり，$|AB-AC|=|BD-CE|=100$ より $FM=\dfrac{79725}{463}$ となる．特に解答すべき値は $\mathbf{80188}$ である．