OMC191(F) - 有名事実の証明 ver2

内心が登場する図では角度の情報が多いので，長さ計算がうまくいくことがよくあります．
長さ計算は，面積の比，正弦定理，三角比を主な道具として示したい式を得る，幾何分野の解法の一つと思ってもらえばいいです．

Well-known fact
　三角形 $ABC$ において内心を $I$ ，内接円と辺 $BC,CA,AB$ の交点をそれぞれ $D,E,F$ とする．線分 $DP$ が内接円の直径となるように取り，$AP$ と $BC$ の交点を $R$ とすると次が成り立つ． $$BR=CD$$

証明
$$AE=AF=a,　BF=BD=b,　CD=CE=c$$ とし，内接円の半径を $r$ とする．示すべきは $BR:RC=c:b$ である． $$\begin{aligned} BR:RC&=|\triangle ABR|:|\triangle ACR|\\ &=|\triangle ABP|:|\triangle ACP|\\ &=\frac{a+b}{a}\cdot|\triangle AFP|:\frac{a+c}{a}\cdot|\triangle AEP|\\ &=(a+b)\cdot d(P,AB):(a+c)\cdot d(P,AC)\\ &=(a+b)(2r-d(D,AB)):(a+c)(2r-d(D,AC))　(\because I \text{ is the midpoint of } DP)\\ &=(a+b)\sin^2\frac{B}{2}:(a+c)\sin^2\frac{C}{2}\\ &(\because 2r-d(D,AB)=2r-b\sin B=2r-2b\tan\frac{B}{2}\cos^2\frac{B}{2}=2r-2r\cos^2\frac{B}{2}=2r\sin^2\frac{B}{2}) \end{aligned}$$ ここで正弦定理より次が成り立つ． $$\sin\dfrac{B}{2}:\sin\dfrac{C}{2}=\frac{\sin B}{\cos\frac{B}{2}}:\frac{\sin C}{\cos\frac{C}{2}}=\frac{a+c}{\cos\frac{B}{2}}:\frac{a+b}{\cos\frac{C}{2}}$$ したがって $$\begin{aligned} (a+b)\sin^2\frac{B}{2}:(a+c)\sin^2\frac{C}{2}&=(a+b)\sin\frac{B}{2}\cdot\frac{a+c}{\cos\frac{B}{2}}:(a+c)\sin\frac{C}{2}\frac{a+b}{\cos\frac{C}{2}}\\ &=\tan\frac{B}{2}:\tan\frac{B}{2}\\ &=\frac{r}{b}:\frac{r}{c}\\ &=c:b \end{aligned}$$ 以上より所望の式： $BR:RC=c:b$ を得る．$\square$