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OMC191 (for beginners)

OMC191(F) - 有名事実の証明 ver1

ユーザー解説 by nmoon

　ここでは，公式解説に使われている有名事実の紹介をしていきます．

有名事実． BD=CRBD = CR である．

この構図は，高難易度Gでも使われることがあるので，Gを得意にしたい人は証明を含めて覚えておくことをお勧めします．ここから先は，証明に使う補題と有名事実を初等的に示していきます．

補題1．三角形 ABCABC の ∠A\angle{A} 内の傍心を IAI_{A}，傍接円を ωA\omega_{A} とすると，ω\omega と ωA\omega_{A} の相似の中心は AA である．

証明 A,I,IAA , I , I_{A} は同一直線上でかつ，ω\omega と ωA\omega_{A} はそれぞれ直線 AB,ACAB , AC に接していることから従う．

補題2．IAI_{A} から直線 BCBC に下ろした垂線の足を R’R’ とすると，R=R’R = R’ である．

証明 補題1より，A,P,R’A , P , R’ が同一直線上にあることから従う．

有名事実．BD=CRBD = CR である．

証明 補題2より，RR はIAI_{A} から直線 BCBC に下ろした垂線の足である．また，II から直線 AB,ACAB , AC に下ろした垂線の足をそれぞれ E,FE , F とし，IAI_{A} から直線 AB,ACAB , AC に下ろした垂線の足をそれぞれ S,TS , T とすると，

AE=AF,AS=AT,BD=BE,BR=BS,CD=CF,CR=CTAE = AF , AS = AT , BD = BE , BR = BS , CD = CF , CR = CT

から FT=BCFT = BC がわかるので，ここから BD=CRBD = CR を得る．