OMC187(D)

　方べきの定理より $FB\times{FA}=FC\times{FD}$ であるから $FD=16$ である．従って，Menelausの定理より $$\frac{CE}{EA} = \frac{BF\times DC}{AB\times FD} = \frac{13}{32},\quad \frac{DE}{EB} = \frac{AF\times CD}{BA\times FC} = \frac{13}{2}$$ である．また，方べきの定理より $CE\times EA = DE\times EB$ であるので，三式を合わせることで $$AE : BE : CE : DE = 32 : 8 : 13 : 52$$ を得る．$AE = 32x$ などと置けば，Ptolemyの定理より $$45x\times60x = 8\times 13 + 52$$ であるから $AE^2 = 1024x^2 = \dfrac{13312}{225}$ を得る．特に解答すべき値は $\mathbf{13537}$ である.