OMC186(E)

点数: 600

Writer: HighSpeed

　周の長さが $31$ の三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ とします．また直線 $AO$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とし，辺 $AB, AC$ 上にそれぞれ点 $E, F$ をとると，$DE \perp DF$ となりました．さらに辺 $BC$，直線 $AB, AC$ が，三角形 $DEF$ の外接円とそれぞれ $D, E, F$ でない点 $P, Q, R$ で交わり $$BP = 5,\quad CP = 8,\quad DQ = DR$$ となりました．
　このとき線分 $DP$ の長さは，互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac pq$ と表せるので，$p + q$ を解答してください．