OMC182(E)

点数: 500

Writer: 2_3_5_7

　三角形 $ABC$ において，点 $B$ を中心とし線分 $AC$ (両端を除く) に点 $D$ で接する円と線分 $AB$ の交点を $F$，点 $C$ を中心とし線分 $AB$ (両端を除く) に点 $E$ で接する円と線分 $AC$ の交点を $G$ とします．さらに，線分 $EF$ および線分 $DG$ それぞれの垂直二等分線の交点を $P$ とし，線分 $BC$ の中点を $Q$ とすると， $$DE = 9, \quad PQ=20, \quad AQ = 23$$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の外接円の面積は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b} \pi$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．