OMC181(F)

点数: 400

Writer: Shota_1110

　$11$ 個の正の実数 $a_1, \ldots, a_{11}$ に対して，正の実数 $A$ を以下で定めます：

• $i=1,2,\ldots,11$ それぞれで $i \leq n_i \leq 11$ をみたすような $11$ 個の整数の組 $(n_1, \ldots , n_{11})$ は $11!$ 通りあるが，それらすべてに対する $a_{n_1}a_{n_2}\cdots a_{n_{11}}$ の総和を $A$ とする．

　いま，$a_1, \ldots, a_{11}$ が $$\sum_{n=1}^{11} n^2 a_n = 1110$$ をみたすとき，$A$ としてありうる最大値は互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，積 $pq$ がもつ正の約数の個数を解答してください．