OMC179(E)

　形式的べき級数を用いた解法です．

　公式解説と同様にマス目を白黒に塗り分けるとき， $c_i=（i+1行目にある黒マスの数）-（i行目にある黒マスの数）$ とする．（ただし $c_0=（1行目にある黒マスの数）,c_7=7-（7行目にある黒マスの数）$ とする）
　公式解説より， $c_0,…,c_7$ は非負整数であり，総和は $7$ である．黒マスの個数は $7c_0+6c_1+…+c_6$ 個で，条件よりこれは奇数．
　また，非負整数の組 $(c_0,c_1,…,c_7)$ と各マスの数の割り当て方は一対一対応していることから，上記を満たす組 $(c_0,c_1,…,c_7)$ の個数を数えればよい．
　ここで， $7c_0+6c_1+…+c_6$ が奇数という条件は $c_0+c_2+c_4+c_6$ が奇数であることに等しい．
　したがって， $f(x,y)=\left(\dfrac{1}{1-xy}\right)^4\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^4$ とすると，求めるべき値は， $f(x,y)$ の $x$ の次数が $7$ で $y$ の次数が奇数である項の係数の総和である．これは以下のように求められる．

$$\begin{aligned} [x^7]\dfrac{1}{2}(f(x,1)-f(x,-1))&=[x^7]\dfrac{1}{2}\left\lbrace\dfrac{1}{(1-x)^8}-\dfrac{1}{(1-x)^4(1+x)^4}\right\rbrace \\ &=\dfrac{1}{2}(_{14}\mathrm{C}_7-0) \\ &=\mathbf{1716} \end{aligned}$$

　ただし，以下の式を用いた． $$\dfrac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+n-1}{n-1}x^i$$