OMC179(E)

$$0\leq a_{1,1} \lt a_{2,1} \lt \cdots \lt a_{i,1} \lt a_{i,2} \lt \cdots \lt a_{i,j}$$ より, $i+j-2 \leq a_{i,j}$ である．また， $$13 \ge a_{7,7} \gt a_{6,7} \gt \cdots \gt a_{i,7} \gt a_{i,6} \gt \cdots \gt a_{i,j}$$ より，$a_{i,j} \leq i+j-1$ である．よって，$b_{i,j}=a_{i,j}-(i+j-2)$ とすると，$b_{i,j}$ は $0$ または $1$ である．ここで，$b_{i,j} = 1$ なる $(i,j)$ に対し上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスを黒く塗り，それ以外のマスを白く塗ることを考える．このとき，黒のマスの一つ右のマス，一つ下のマスは必ず黒のマスであるから，黒のマスと白のマスの境界線は，マス目の左下の頂点から右上の頂点へマスの境界を通っていく最短経路となる．逆に，黒のマスと白のマスのマス目の境界線がこのようになっているとき，明らかに一つ目の条件を満たす．従って，一つ目の条件を満たす数の書き方は ${}_{14}\mathrm{C}_{7}$ 通りである．
　一つ目の条件を満たしている書き込み方に対し，マス目を $180^\circ$ 回転させた後，各マスについて書かれている数が $k$ なら $13 - k$ に書き換えるという操作を行うと，操作後に得られる書き方も１つ目の条件を満たし，操作前後でマス目に書かれている数の総和の偶奇は異なる．従って，一つ目の条件を満たす書き込み方のうちちょうど半分が二つ目の条件も満たすので，求める答えは $\dfrac{{}_{14}\mathrm{C}_{7}}{2} = \bf{1716}$ である．