OMC178(E)

【$a_{n}$ の挙動から遷移図を作る】

$$f(x)=\begin{cases} 1 & (x=1) \\ \frac{4 x}{(x-1)^{2}} & (x\neq1) \end{cases}$$

とすると, $a_{n+1}=f(a_{n})$.

$f(x)=1$ の実数解は, $x=1, 3\pm2\sqrt{2}$ である. また, $y=f(x)$ のグラフから, $f(x) \in (0, 3)$ を満たす実数 $x$ は区間 $(0, 3)$ と区間 $(3, \infty)$ に 1つずつ, $f(x) \in (3, \infty)$ を満たす実数 $x$ は区間 $(0, 3)$ にちょうど 2 つ存在する.

よって, $k=1, 2, \ldots$ に対して, $f^{(k)}(x) \in (0, 3)$ となる実数 $x$ の個数を $p_{n}$, $f^{(k)}(x) \in (3, \infty)$ となる実数 $x$ の個数を $q_{n}$とすると, $$p_{n+1}$$

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