OMC172(D)

点数: 400

Writer: kinmokusei

　平面上に中心をそれぞれ $O_i$ とする $3$ つの円 $C_i\ (i=1,2,3)$ があります．$C_2,C_3$ は $C_1$にそれぞれ点 $P,Q$ で内接しており，$C_2$ と $C_3$ は点 $R$ で外接しています．ここで，直線 $PR,QR$ と $C_1$ との交点のうちそれぞれ $P,Q$ でない方を $S,T$ とし，さらに点 $P,Q$ それぞれにおける $C_1$ の接線の交点を $U$ とすると，以下が成立しました． $$ST=240,\quad O_2O_3=77,\quad UP=47$$ このとき，三角形 $O_1O_2O_3$ の内接円の半径は，互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．