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OMC172

OMC172(C)

ユーザー解説 by noppi_kun

　AB=CD,∠BAD+∠ADC=120∘AB=CD,\angle BAD+\angle ADC=120^\circ から，四角形ABCDABCDの形をしたタイルを66つつなげると下図のように正六角形が22つできることが分かります．あとは等辺の条件を用いて良い感じに角度追跡（後述）をすれば良いです．

注：問題文と点の文字が異なります．また，図を作り間違えてBH=HGBH=HGにするのを忘れました．心の目で見てください．

figure 1

良い感じの角度追跡（雑です） 　点の記号は上図を参照してください．∠BHG=123.45∘,∠OHG=60∘\angle BHG=123.45^\circ, \angle OHG=60^\circから∠BHO=176.55∘\angle BHO=176.55^\circがわかります．△HBO\triangle HBOがHB=HOHB=HOなる二等辺三角形であることから，∠HBO=1.725∘\angle HBO=1.725^\circであり，∠ABO=60∘\angle ABO=60^\circとあわせ∠ABH=58.275∘\angle ABH=58.275^\circであることが分かりました．

　一般に，ADADをBCBCにうつす相似拡大の中心（上の条件では六角形の中心）をOOとするとき，OOは（完全）四角形ABCDABCDのミケル点と呼ばれます．いろいろと良い性質があるので船旅本の10章を参照することをおすすめします．また，OMCに還元した例としてはOMC100(D)などが挙げられます．

　また，類題として以下の問題を紹介します．なお，この問題にはミケル点を使わない比較的単純な解法も存在します．

AB=5,BC=14,CD=8,∠ABC=80∘,∠BCD=40∘AB=5,BC=14,CD=8,\angle ABC=80^\circ,\angle BCD=40^\circ をみたす四角形ABCDABCDについて，辺BC,ADBC,ADの中点をそれぞれM,NM,Nとしたとき，線分MNMNの長さを求めよ．

ミケル点を利用した解法 　直線ABABと直線CDCDの交点をPPとし，円PADPADと円PBCPBCの交点(≠P)(\neq P)をQQとする．このとき，円周角の定理から△QAD∼△QBC\triangle QAD\sim\triangle QBCが成り立ち，これより△QAB∼△QDC\triangle QAB \sim\triangle QDCが成り立つことがわかる．（この点QQが四角形ABCDABCDのミケル点である．）∠BQC=∠BPC=60∘\angle BQC=\angle BPC=60^\circとQB:QC=AB:DC=5:8QB:QC=AB:DC=5:8より余弦定理からQB=10,QC=16QB=10, QC=16がわかる．△QBC\triangle QBCに中線定理を適用すると2(QM2+BM2)=QB2+QC22(QM^2+BM^2)=QB^2+QC^2を得られ，これよりQM=129QM=\sqrt{129}がわかる．△QAD\triangle QADと△QBC\triangle QBCの相似で点MMと点NNが対応するので△QAN∼△QBM\triangle QAN \sim \triangle QBMすなわち△QAB∼△QNM\triangle QAB \sim \triangle QNMが成り立つので，QM:MN=QB:BA=2:1QM:MN=QB:BA=2:1であるから，MN=QM2=1292MN=\dfrac{QM}{2}=\boxed{\dfrac{\sqrt{129}}{2}}を得る．

ミケル点を利用しない解法の概略（表現が雑です） 　DNDNがANANにくっつくように四角形NMCDNMCDを回転させ四角形ABMNABMNとくっつけます．C,MC,Mが動いた先をC′,M′C^\prime,M^\primeとすると，四角形BMC′D′BMC^\prime D^\primeは平行四辺形になります．また，角度の条件から良い感じに120∘120^\circが出てくるので，余弦定理を利用することにより答えが求まります．