OMC170(E)

　三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍接円と辺 $BC$ の接点を $F$とすれば，$H, D, E, F$ は調和点列であり，$CF=BD$ から $BD:DF=16:9$ である．$BH=HI$ より $\angle HIB = \angle HBI =\angle ABI$ から $HI//BA$ であり， $$\dfrac {DE}{HD} =\dfrac {IE}{AI} =\dfrac{HE}{BH}$$ 調和点列の性質より $$\dfrac{DE}{HD}=\dfrac{FE}{HF}$$ この二つから $$\dfrac{DE+HE}{HD+BH}=\dfrac{FE-DE}{HF-HD} \rArr \dfrac{DE+HE}{BD}=\dfrac{FE-DE}{DF}$$ より，$(DE+HE):(FE-DE)=BD:DF=16:9$ であり $25DE+9HE=16FE$ が分かる．
ここで，$HD=1-x, DE=x$ とおけば $\dfrac{EI}{AE}=x$ であり，$\dfrac{DE}{HD}=\dfrac{FE}{HF}$ から $EF=\dfrac x {1-2x}$ となるので，先の関係式に当てはめれば，$50x^2+9x-9=0$ が得られる．
　あとは値を代入することで解答すべき値が得られる．